Sólido rígido

Velocidades angulares de rotación inmediatamente después del choque

Movimiento después del choque

Movimiento de rodar sin desliazar

Actividades

En esta página vamos a estudiar los choques frontales de dos esferas del mismo radio aunque pueden estar hechas de distintos materiales.

Velocidades   del c.m. inmediatamente después del choque

Consideremos un sistema aislado de dos partículas interactuantes.

En el capítulo de dinámica estudiamos las colisiones frontales elásticas e inelásticas, aplicando el principio de conservación del momento lineal y el balance energético de la colisión expresado en términos del coeficiente de restitución.

Sean dos partículas de masas m₁ y m₂ que tienen velocidades iniciales u₁ y u₂ antes del choque. Si la elasticidad del impacto se expresa en términos del coeficiente de restitución e, las velocidades después del choque serán

                (1)

donde M=m₂/m₁.

Velocidades angulares de rotación inmediatamente después del choque

Las esferas ruedan sin deslizar antes del choque, luego sus velocidades angulares de rotación valen u₁/r y u₂/r respectivamente. Siendo r el radio de las esferas.

Las fuerzas de fricción en el momento del choque producen un cambio en la velocidad angular de las esferas. Vamos a determinar las velocidades angulares de las esferas w₁ y w₂ inmediatamente después del choque.

Sea t el tiempo que las esferas permanecen en contacto, en el momento del choque.

Impulso lineal

La fuerza N₁ que ejerce la segunda esfera sobre la primera en el momento del choque hace que la primera esfera cambie su velocidad de u₁ a v₁.

La fuerza N₂ que ejerce la primera esfera sobre la segunda en el momento del choque hace que la segunda esfera cambie su velocidad de u₂ a v₂.

Como ambas fuerzas son iguales en módulo, N₁ =N₂, vemos que se cumple el principio de conservación del momento lineal.

Impulso angular.

La primera esfera desliza sobre la superficie de la segunda esfera. La fuerza de rozamiento R₁ que ejerce la segunda esfera hace que la velocidad angular de rotación de la primera esfera cambie de u₁/r a w₁.

La segunda esfera desliza sobre la superficie de la primera esfera. La fuerza de rozamiento R₂ que ejerce la primera esfera hace que la velocidad angular de rotación de la segunda esfera cambie de u₂/r a w₂.

donde I₁ e I₂ son los momentos de inercia de las esferas respecto de un eje que pasa por su centro I=2mr²/5.

Como ambas fuerzas son iguales en módulo, R₁ =R₂, vemos que se cumple el principio de conservación del momento angular.

Relación entre el impulso lineal y angular

Si m es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento entre ambas superficies puestas en contacto, existe una relación entre las normales N₁ y N₂ y las fuerzas de rozamiento R₁ y R₂.

R= m N

Lo que se traduce en las siguientes relaciones entre las velocidades lineales y angulares.

Despejando las magnitudes desconocidas w₁ y w₂

      (2)

Teniendo en cuenta que I=2mr²/5, M=m₂/m₁, y que las esferas tienen el mismo radio r, podemos fácilmente, comprobar que se cumple el principio de conservación del momento angular

I₁u₁/r+I₂u₂/r=I₁w₁+I₂w₂

Movimiento después del choque

Inmediatamente después del choque no se cumple en general, que las esferas rueden sin deslizar, v_c¹ w ·r. Por tanto, como vimos en la página Equilibrio entre el movimiento de traslación y rotación, las fuerzas de rozamiento entre las esferas y el carril sobre el que se mueven restablecerán este equilibrio hasta que se cumpla v_c=w r. Más abajo, estudiremos con detalle ejemplos concretos de los distintos movimientos.

Sean m₁ y m₂ los coeficientes se las fuerzas de rozamiento entre cada una de las esferas y el carril. Puede ocurrir que la velocidad del punto P de contacto de la rueda con el carril sea positiva o negativa

Si vp=vc-w ·r>0 La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la izquierda) tal como se muestra en la figura. Fr=m N=m mg Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán:

• Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

ma_c=-F_r
a_c=- m g.

Como a_c<0, la velocidad v_c del c.m. disminuye

• Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

I_ca =F_r·r

Como a >0, la velocidad angular de rotación w aumenta

Si vp=vc-w ·r<0 La fuerza de rozamiento Fr en P es de signo contrario (hacia la derecha) tal como se muestra en la figura. Fr=m N=m mg Las ecuaciones del movimiento de la esfera serán

• Movimiento de traslación del centro de masas (c.m.)

ma_c=F_r
a_c=m g

Como a_c>0, la velocidad v_c del c.m. aumenta

• Movimiento de rotación alrededor del un eje que pasa por el c.m.

I_ca =-F_r·r

Como a <0, la velocidad angular de rotación w disminuye

Tiempo hasta que se establece el equilibrio rotación-traslación

A partir de las ecuaciones de la cinemática del movimiento rectilíneo y circular uniformemente acelerado, calculamos la velocidad del c.m. v_c y la velocidad angular de rotación w .

En ambos casos v_P<0 y v_P>0, la velocidad del punto P de contacto de la esfera con el carril se anula v_P=0, en el instante t tal que v_c=w ·r

Movimiento de rodar sin desliazar

A partir de dicho instante, la esfera rueda sin deslizar v_P=0, o bien v_c=w ·r.

Para cada una de las esferas, los instantes t₁ y t₂ para los cuales empiezan a rodar sin deslizar a partir del momento del choque, son respectivamente.

La velocidad final de las esferas a partir de los instantes t₁ y t₂ cuando ruedan sin deslizar son, respectivamente:

• Si v_P>0

V_1c=v₁-m₁·g·t₁
V_2c=v₂-m₂·g·t₂

• Si v_P<0

V_1c=v₁+m₁·g·t₁
V_2c=v₂+m₂·g·t₂

Actividades

Para que sirva de referencia, se proporciona algunos datos de la experiencia descrita en el artículo citado en la bibliografía

Los coeficientes de rozamiento m₁ y m ₂ entre cada una de las esferas y el carril depende de los materiales de los que están hechas las esferas y el carril, y es del orden de 0.15.

1. Introducir las velocidades de las esferas antes del choque, u₁ y u₂.
2. El coeficiente de rozamiento m , por deslizamiento de las esferas en el momento del choque.
3. El coeficiente de restitución e.
4. El cociente M=m₂/m₁ entre las masas de las dos esferas.
5. El radio r de las esferas se ha fijado en r=10 cm.
6. El coeficiente de rozamiento entre las esferas y el carril se ha fijado en m₁= m₂=0.05, para que se pueda ver la transición hacia el equilibrio (rodar sin deslizar) de las esferas.

Ejemplo 1

Sea u₁=0.75 y u₂=-0.5, m =0.14, e=0.72 y M=1.0, esferas de la misma masa y radio.

1.-Velocidades v₁ y v₂ de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)

v₁=-0.325
v₂=0.575

Se cumple el principio de conservación del momento lineal

0.75+(-0.5)=-0.325+0.575

2.- velocidades angulares w₁ y w₂, inmediatamente después del choque, fórmulas (2)

w ₁=3.7375
w ₂=-1.2375

Se cumple el principio de conservación del momento angular

0.75/0.1+(-0.5/0.1)=3.7375-1.2375

3.-Movimiento de las esferas después del choque.

• Movimiento de la primera esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal vP=v1-0.1w1=-0.325+0.1·3.7375=-0.70 La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación  (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₁=-0.325+0.05·9.8·t
w₁=1.2375-5·0.05·9.8·t/(2·0.1)

El instante en el que se cumple que v_P=0, y la esfera rueda sin deslizar es

v₁=0.1w₁ por tanto, t₁=0.41 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

v₁=-0.325+0.05·9.8·t₁=-0.124 m/s

• Movimiento de la segunda esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal vP=v2-0.1w2=0.575+0.1·1.2375=0.70 La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₂=0.575-0.05·9.8·t
w₂=-1.2375+5·0.05·9.8·t/(2·0.1)

El instante en el que se cumple que v_P=0 , y la esfera rueda sin deslizar es

v₂=0.1w₂ por tanto, t₂=0.41 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

v₂=0.575-0.05·9.8· t₂=0.374 m/s

Ejemplo 2

Sea u₁=0.75 y u₂=0.5, m =0.14, e=0.72 y M=0.5, esferas de distinta masa pero del mismo radio.

1.-Velocidades v₁ y v₂ de las esferas inmediatamente después del choque, fórmulas (1)

v₁=0.6067
v₂=0.7867

Se cumple el principio de conservación del momento lineal

0.75+0.5·0.5=0.6067+0.5·0.7867

2.- Velocidades angulares w₁ y w₂, inmediatamente después del choque, fórmulas (2)

w ₁= 7.0
w ₂=6.0

Se cumple el principio de conservación del momento angular

0.75/0.1+0.5·0.5/0.1=7.0+0.5·6.0

3.-Movimiento de las esferas después del choque.

• Movimiento de la primera esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal vP=v1-0.1w1=-0.6067-0.1·7.0=-0.09 La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de rotación y favorece el de traslación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₁=0.6067+0.05·9.8·t
w₁=7.0-5·0.05·9.8·t/(2·0.1)

El instante en el que se cumple que v_P=0, y la esfera rueda sin deslizar es

v₁=0.1w₁ por tanto, t₁=0.05 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

v₁=0.6067 +0.05·9.8· t₁=0.6333 m/s

• Movimiento de la segunda esfera

Velocidad del punto P de contacto con el plano horizontal vP=v2-0.1w2=0.7867+0.1·6.0=0.1867 La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación y favorece el de rotación, tal como puede verse en la figura

Hasta que se alcanza el equilibrio rotación-traslación (velocidad final igual a velocidad inicial más aceleración por tiempo)

v₂=0.7867-0.05·9.8·t
w₂=6.0+5·0.05·9.8·t/(2·0.1)

El instante en el que se cumple que v_P=0 , y la esfera rueda sin deslizar es

v₂=0.1w₂ por tanto, t₂=0.11 s.

La velocidad final cuando la esfera rueda sin deslizar es

v₂=0.575-0.05·9.8· t₂=0.7333 m/s

Manejo del programa interactivo

Pulsar los botones titulados Pausa/Continua y Paso para acercarse al momento del choque y tomar los valores de las velocidades del c.m. de cada una de las esferas v₁ y v₂ y las velocidades angulares de las esferas w₁ y w₂ después del choque.

En el applet podemos ver el balance energético de la colisión. La energía antes del choque, (suma de la energía cinética correspondiente al movimiento de traslación del c.m. y de la energía cinética correspondiente al movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.) y la energía después del choque en colores más claros.

Se muestra mediante flechas, la velocidad del c.m. de la esfera y la velocidad del punto P de contacto entre la esfera y el carril.