Deformaciones de la rueda y del plano horizontal.

Sólido rígido

Comparación entre un cuerpo que desliza con otro que rueda

Un cuerpo rígido que rueda sobre una superficie horizontal deformable.

Actividades

Un cuerpo rígido que se mueve sobre un plano inclinado deformable

Como hemos visto en las dos páginas precedentes, equilibrio rotación-traslación, y en el estudio del movimiento de la bola de billar,  hay dos fases en el movimiento de dicho cuerpo:

1. Hay una fuerza de fricción en el punto de contacto entre la bola de billar y el plano horizontal.
2. Esta fuerza de rozamiento desaparece en el momento en que la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.

La causa de la desaparición de la fuerza de rozamiento estriba en que el punto de contacto de la bola con el plano horizontal está instantáneamente en reposo con respecto a dicho plano.

Nuestra experiencia indica, que la bola de billar no prosigue moviéndose indefinidamente con velocidad constante, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.

Deformaciones de la rueda y la superficie horizontal

Hasta ahora hemos supuesto que la bola de billar y el plano horizontal eran perfectamente rígidos, pero esta no es la situación real.

En la figura de la izquierda, vemos las fuerzas que se ejercen sobre un disco que se deforma y un plano horizontal que también se deforma. La resultante de las fuerzas que se ejercen en la superficie de contacto se muestran en la figura de la derecha.

Dicha resultante, tiene dos componentes: una componente vertical N y una componente horizontal f. La componente vertical N no pasa en general por el centro de masas, sino a una pequeña distancia d, que es el brazo de dicha fuerza tal como se muestra en la figura.

Las ecuaciones del movimiento para un disco de masa M y radio R son

La primera ecuación corresponde a la dinámica del movimiento de traslación del centro de masas. La segunda, la rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. La última ecuación, es la condición de rodar sin deslizar. El valor de la aceleración del c.m. a_c y el valor de la fuerza f se pueden obtener de las ecuaciones del movimiento

Comparación entre un cuerpo que desliza con otro que rueda

Para un cuerpo que desliza las ecuaciones del movimiento son más simples

La aceleración del cuerpo vale

Normalmente, el coeficiente dinámico de rozamiento m_k es mucho mayor que el cociente d/R. Por lo que concluimos, que un cuerpo que desliza se detiene mucho antes que un cuerpo que rueda sin deslizar.

Podemos calcular la fuerza F que tenemos que aplicar en el c.m. para mantener ambos cuerpos en movimiento uniforme.

En el caso del disco tenemos que a_c=0 y a =0.

obtenemos que F=mgd/R. Mientras que en el caso del bloque obtenemos F=m_kmg.

De nuevo, concluimos que la fuerza F necesaria para mantener deslizando con velocidad constante a un cuerpo es superior a la fuerza necesaria para hacer rodar otro cuerpo de la misma masa, siempre que se cumpla que

Un cuerpo rígido que rueda sobre una superficie horizontal deformable.

En general, la deformación se produce en ambos cuerpos, en la mayor parte de los casos podemos suponer que es uno el que se deforma. Por ejemplo, en el caso del juego del billar, la bola experimenta una deformación mucho menor que el tapete. En el caso de un automóvil, la rueda experimenta mayor deformación que el asfalto o cemento de la carretera.

Consideremos el caso de una bola de billar que rueda sobre un tapete. Como se aprecia en la figura la reacción es normal a la superficie en el punto de contacto y se aplica en un punto P’ que está muy cercano al punto P. La reacción no es vertical y tiene por tanto dos componentes N y f.

Las ecuaciones del movimiento son similares a las del disco de la primera sección. Solamente, se ha sustituido el momento de inercia del disco por el momento de inercia de una esfera.

Observamos en la parte derecha de la figura que d=Rsenq . Ahora bien, como q  es un ángulo pequeño, podemos aproximar senq » q  y h» R. Obtenemos el siguiente valor para la aceleración a_c del c.m.

La componente f es una fuerza constante que viene determinada por la deformación de la superficie, y es igual en magnitud al producto de la masa m por la aceleración del c.m.

Actividades

Se introduce en el control de edición el Grado de deformación, que es la medida del ángulo q  en grados. Se supone que la aproximación sen q » q se mantiene hasta los 20º. En la parte inferior del applet, observamos el movimiento de la bola de billar rodando sin deslizar sobre el plano horizontal. El programa interactivo nos proporciona la velocidad del c.m. en función del tiempo, y la distancia que recorre la bola de billar que se mide con una regla graduada en dm. En la parte superior, vemos la deformación de la superficie horizontal y las fuerzas que actúan sobre la bola de billar.

Nota: un ángulo de 20º es bastante exagerado para la mayor parte de los casos prácticos, pero nos permite apreciar en la simulación la deformación de la superficie horizontal y las fuerzas que ejerce sobre la bola de billar.

Una vez introducido el dato requerido se pulsa el botón titulado Empieza.

Se puede parar el movimiento en cualquier momento pulsando en el botón titulado Pausa. Se reanuda el movimiento pulsando en el mismo botón titulado ahora Continua.

Se puede observar el movimiento paso a paso pulsando el botón titulado Paso. Se reanuda el movimiento normal pulsando el botón titulado Continua.

Un cuerpo rígido que se mueve sobre un plano inclinado deformable

El movimiento de un cilindro o una esfera a lo largo de un plano inclinado no se produce para cualquier inclinación del plano, por pequeña que esta sea, sino que requiere un ángulo umbral.

En la figura, se han dibujado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda sin deslizar. Las componentes del peso, la fuerza de rozamiento en la rodadura Fr, la reacción N

La reacción N no se aplica en el punto de contacto entre la rueda y el plano, sino que pasa por delante del centro de masas a una distancia d del mismo. Su existencia se justifica como ya hemos visto en que el plano y la rueda se deforman ligeramente en la zona de contacto.

El valor del brazo d depende de diversos factores entre ellos la velocidad con que baja rodando el cuerpo, pero supondremos que es constante.

Como vemos en la figura, el momento de la reacción N ya no es nulo sino que se opone al momento de la fuerza F_r.

Las ecuaciones del movimiento son ahora las siguientes:

• Movimiento de traslación del c.m.

mg·senq -Fr=ma_c

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

F_r·R-d·mgcosq =I_ca

• La condición de que el cuerpo ruede sin deslizar es

a_c=a ·R

Para un cilindro I_c=mR²/2

Que como vemos se convierten en las ecuaciones que describen el movimiento de un cilindro que rueda sin deslizar, cuando d=0.

El movimiento del cilindro no se inicia hasta un ángulo tal que a_c³ 0 es decir hasta que el ángulo q > q ₀

Relaciones energéticas.

Al encontrarse el punto de contacto entre el cuerpo rígido y el plano inclinado instantáneamente en reposo sobre la superficie, la fuerza de rozamiento F_r es estática. El máximo valor que puede alcanzar es m _e·N. Siendo N la reacción del plano inclinado N=mgcosq . Mientras F_r no supere el valor máximo m _e· mgcosq , el movimiento del cuerpo será de rodar sin deslizar

La fuerza de rozamiento en la rodadura F_r no realiza trabajo. Pero ahora la reacción N si realiza un trabajo (momento por ángulo girado). –Nd·f =-(d·mgcos q )·l/R. Siendo l la longitud que recorre el cilindro a lo largo del plano inclinado.

De este modo una parte de la energía potencial mgh se convierte en trabajo de la reacción N.

Si d=0 la energía potencial mgh se convierte en energía cinética de traslación del c.m. y en energía cinética de rotación alrededor del c.m.