Sólido rígido

Regiones del espacio (tgq , m )

Actividades

El rozamiento requiere dos superficies de sólidos en contacto y en movimiento relativo. Sin embargo, bajo el nombre de fuerzas de rozamiento, se describen fuerzas de muy distinta naturaleza:

En la página titulada "Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido", hemos estudiado las fuerzas de rozamiento que se oponen al movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido viscoso. La fórmula de la fuerza depende del número de Reynolds.

En la página titulada "El rozamiento por deslizamiento" hemos estudiado el comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal:

• Cuando la fuerza de rozamiento F_r estática no supera el valor máximo m _eN el cuerpo permanece en reposo sobre la superficie.
• Sin embargo, cuando las dos superficies en contacto están en movimiento relativo la fuerza de rozamiento toma la forma F_r=m_kN.

En la página titulada "Movimiento de rodar en un plano inclinado" en el movimiento de rodar sin deslizar, existe una fuerza de rozamiento estática aplicada en el punto de contacto entre la rueda y la superficie cuya velocidad en cada instante es cero. Dicha fuerza de rozamiento no realiza trabajo neto, y tanto su módulo como su sentido vienen determinados por las ecuaciones del movimiento.

Finalmente en la página titulada "Deformaciones de la rueda y del plano horizontal"  cuando un sólido, por ejemplo una bola de billar, rueda sobre una superficie tanto el sólido como la superficie se deforman alrededor del área de contacto, como consecuencia la bola va reduciendo su velocidad. Esta pérdida se debe a que los sólidos en contacto no son perfectamente elásticos.

Hemos estudiado varios ejemplos de discos rodando sobre planos horizontales e inclinados, en ellos hemos puesto de manifiesto el papel crucial que juega la fuerza de rozamiento como fuente de acoplamiento entre el movimiento de traslación y el de rotación.

La característica más importante de este ejemplo, es que muestra una gran riqueza de comportamientos en comparación con la esfera o un disco que se deja en reposo sobre un plano inclinado.

Fundamentos físicos

Consideremos una caja de anchura b y altura h, de masa m , situada sobre un plano inclinado de ángulo q .

La caja está caracterizada por dos parámetros su anchura b y su altura h (se ignora la dimensión perpendicular al plano de la figura) o bien por el ángulo b , y por la distancia R de un vértice al centro de la caja.

• Las fuerzas que actúan sobre la caja se muestran en la figura de la derecha:
• El peso mg que actúa en el centro de masas,
• La reacción del plano N, que no pasa en general, por el c.m.  La distancia entre la dirección de dicha fuerza y el c.m. lo designamos por d. Como la mayoría de los estudiantes sitúan la normal N pasando por el c.m. insistiremos en señalar que la reacción del plano no pasa, en general, por el c.m.
• Finalmente, la fuerza de rozamiento F_r que actúa en la superficie de contacto entre la caja y el plano inclinado.

La fuerza de rozamiento F_r es una incógnita en las ecuaciones del movimiento. Adquiere su valor máximo m_s·N cuando el cuerpo va a empezar a deslizar, donde m_s es el coeficiente estático de rozamiento. Cuando el cuerpo desliza su el valor de F_r es m_k·N. Para simplificar nuestro estudio supondremos que ambos coeficientes tienen el mismo valor m .

Como es habitual en los problemas con planos inclinados, establecemos un sistema de ejes de modo que el eje Y es perpendicular al plano inclinado, y el eje X es paralelo al plano inclinado

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

• Movimiento de traslación del c.m.

donde a_cx y a_cy son las componentes de la aceleración del c.m.

• Movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura y que pasa por el c.m.

Vamos a expresar la aceleración de c.m. ac en términos de la aceleración a del vértice A de la caja y de la aceleración angular a .

Las ecuaciones del movimiento serán por tanto,

Vamos a estudiar los distintos casos que se pueden presentar cuando colocamos una caja de dimensiones dadas en reposo sobre el plano inclinado.

1.-No desliza y no vuelca,

La caja permanece en reposo sobre el plano inclinado por lo que a=0, y a =0. A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas

La fuerza de rozamiento es inferior a su valor máximo, F_r£ m ·N, esta condición es equivalente a tgq £ m .

La reacción del plano N no puede salirse de la base de la caja d£ b/2, lo que equivale a que tgq £ tgb .

2.-Desliza, pero no vuelca

Si desliza la aceleración ya no es nula a³ 0, pero al no volcar la aceleración angular es nula a =0. Al deslizar, la fuerza de rozamiento tiene el valor F_r=m ·N. A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas

La reacción del plano N no puede salirse de la base de la caja d£ b/2, lo que equivale a que m £ tgb .

La condición de que la aceleración a sea positiva a³ 0equivale a m £ tgq .

3.-Vuelca, pero no desliza

Si no desliza la aceleración es nula, a=0, y si vuelca la aceleración angular no es nula a ³ 0. La reacción del plano N se encontrará en el único punto de contacto A, de modo que d=b/2. En este caso el valor de la fuerza de rozamiento F_r es desconocido, pero para que el punto A no deslice su valor se ha de mantener inferior a F_r£ m ·N

A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones se despejan las incógnitas

La condición de que la aceleración angular sea positiva a ³ 0 equivale a q ³ b .

La condición de que el punto A no deslice F_r £ m·N, equivale a

4.-Vuelca y desliza

Si desliza la aceleración no es nula, a³ 0, y si vuelca la aceleración angular no es nula a ³ 0. La reacción del plano N se encontrará en el único punto de contacto A, de modo que d=b/2. Como desliza el valor de la fuerza de rozamiento es F_r=m ·N

A partir de estos dos datos, que introducimos en las tres ecuaciones, se despejan las incógnitas

Las condiciones de que N³ 0, a ³ 0 y a³ 0 equivalen a

Regiones del espacio (tgq , m )

Las desigualdades en cada uno de los cuatro casos definen en el espacio (tgq , m ), cuatro regiones que hemos pintado de distintos colores. Las abscisas son las tangentes de los ángulos q del plano inclinado, las ordenadas son los valores del coeficiente de rozamiento m. En el eje horizontal y vertical marcamos el valor de tgb .

1. No desliza y no vuelca

1. Corresponde a la región definida por las desigualdades
2. tgq £ m .
3. tgq £ tgb .

2. Desliza pero no vuelca

Corresponde a la región definida por las desigualdades

m £ tgb .

m £ tgq .

3. Vuelca

El espacio que queda se divide en dos regiones. Ambas están separadas por la curva

Como se puede demostrar esta curva pasa por el punto (tgb , tgb ) y tiene una asíntota horizontal (cuando tgq ® ¥ ) que vale

La región vuelca pero no desliza, está por encima de dicha curva, tal como expresa la desigualdad correspondiente

4. Desliza y vuelca

La región desliza y vuelca está por debajo de dicha curva.

Actividades

El applet simula el comportamiento de una caja que se coloca en reposo sobre un plano inclinado. Sin embargo, la simulación no describe correctamente el movimiento de rotación de la caja alrededor del vértice A, se limita a dar los valores iniciales de la aceleración angular en el instante en el que se inicia el vuelco. El estudio del comportamiento de una caja cuando no descansa sobre el plano inclinado, sino que su base forma un cierto ángulo con éste, es bastante complicado ya que los valores de las aceleraciones cambian a medida que la caja gira alrededor del vértice A.

En primer lugar, se introduce las dimensiones de la caja: la altura h y la anchura o longitud de la base b, lo que nos da el valor del ángulo b , tal que tgb =b/h. En el applet, el ángulo b  tiene como límite superior 50º. Un mensaje en la parte inferior izquierda del applet nos avisa si al introducir las dimensiones de la caja se supera este valor.

Una vez que se han establecido las dimensiones de la caja, se pulsa el botón titulado Nuevo.

Introducimos el valor del coeficiente de rozamiento m   en el control de edición titulado Coef. Rozamiento, y a continuación, introducimos el ángulo q  del plano inclinado, y se pulsa el botón titulado Empieza. Se representa el punto (tgq , m ) en color negro sobre el gráfico y vemos el comportamiento de la caja, dependiendo en qué región esté situado dicho punto.