Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos La rueda de Maxwell Equilibrio rotación-traslación Choque frontal de dos esferas. Percusión en una bola de billar Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Deformaciones de la rueda y el plano Caja sobre un plano inclinado Comportamiento oscilatorio
Curvas cicloidales |
Trayectoria
de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizar
Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.
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| La cicloide es una de curvas más importantes en la Física y las Matemáticas, junto a la catenaria y otras curvas. La curva cicloide se encuentra al estudiar varios fenómenos físicos:
Trayectoria de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizarLa cicloide se produce cuando se hace rodar un círculo sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del círculo describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del círculo le corresponde un arco de la cicloide
Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del círculo, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura
Si el círculo rueda sin deslizar, la relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación w alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc=w ·R. La ecuación de la cicloide expresada en términos del parámetro q , es x=R(q +senq ) y=R(1-cosq )
La braquistrocronaLa cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es la recta que une los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula. Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo). Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.
El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es
Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral
Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.
Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es
Integrando respecto de y
Esta integral se resuelve haciendo la sustitución
con lo que se obtiene
que son de nuevo las ecuaciones paramétricas de una cicloide.
Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.En la página titulada rodando por un plano inclinado hemos estudiado el movimiento de un aro, un cilindro y una esfera que bajan rodando a lo largo de un plano inclinado. Consideremos de nuevo una rueda (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inercia Ic=k·mr2 siendo k=1 para una rueda en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera. Las ecuaciones del movimiento de la ruedaDibujamos las fuerzas sobre el cuerpo que rueda y formulamos las ecuaciones del movimiento
Despejando en las tres ecuaciones la aceleración ac del c.m.
La ecuación del camino
Pongamos la rueda sobre un camino cualesquiera. Para que la rueda describa un MAS es necesario que la aceleración ac de su c.m. sea proporcional al desplazamiento s (arco) y de sentido contrario a éste. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la frecuencia angular w del MAS.
Sea ds un arco infinitesimal en la posición (x, y),
La proyección de ds sobre los ejes horizontal X y vertical Y son, tal como se ve en la figura de la derecha.
Integrando x e y con las condiciones iniciales q =0, x=0, y=0.
que son de nuevo las ecuaciones de una cicloide generada por el círculo de radio R igual a
Hemos demostrado, por tanto, que un aro, un cilindro o una esfera que ruedan a lo largo de un camino en forma de cicloide describen un MAS, y hemos calculado su periodo P. Si tomamos como radio R del círculo que genera la cicloide la unidad (1 m), y g=9.8 m/s2. Los periodos de las oscilaciones son respectivamente
Posición de la rueda en función del tiempo.Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación. s=A·sen(w t+j ) vc=w s0·cos(w t+j) Donde la amplitud A y la fase inicial j se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s0, vc=0. La rueda parte de la posición s0 con velocidad inicial cero. s=s0·sen(w t+p /2)=s0·cos(w ·t) La velocidad vc del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo vc=-w s0·sen(w t) La longitud del arco s a lo largo del camino que va del origen al punto donde se encuentra la rueda la podemos relacionar con la posición x e y de la rueda o del ángulo q . x=R(2q +sen2q ) dx=2R(1+cos2q )·dq y=R(1-cos2q ) dy=2Rsen2q ·dq La longitud del arco s será
Balance energéticoEl balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado. Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen La energía potencial será
La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.
donde se ha tenido en cuenta la relación entre ambas velocidades vc=w ·r para que ruede sin deslizar. La suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante e igual a
ActividadesEn el applet se escoge el cuerpo que rueda en la lista titulada Cuerpo.
Se establece su posición inicial mediante la barra de desplazamiento titulada Pos. inicial Se pulsa el botón titulado Inicio, y a continuación Empieza. Observamos como el cuerpo rueda sin deslizar por el camino en forma de cicloide. En la parte superior, se muestra el balance energético en un diagrama en forma de tarta. La energía potencial Ep y la energía cinética Ek como suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. Para realizar otro ensayo, se pulsa el botón Inicio, se modifican los parámetros (se elige otro cuerpo o se cambia la posición inicial de partida) y se pulsa el botón titulado Empieza. |
La curva cicloide
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