Fluidos

Dinámica de fluidos

Vaciado de un depósito (I)

Vaciado de un depósito (II)

Cohete propulsado
  por agua

Vasos comunicantes

Oscilaciones en vasos
comunicantes

Fluidos reales
Ley de Poiseuille

Fluido entre dos
cilindros coaxiales

Descarga de un
tubo-capilar

Carga y descarga de
un tubo-capilar

Analogía de las series de
desintegración radioactiva

Régimen laminar y 
turbulento

Efecto Magnus

Llenado de aire

Salida del agua por el orificio

Empuje que experimenta el cohete

Actividades

Se continua en esta página el estudio de un recipiente cerrado lleno parcialmente de agua que contiene aire en su interior a una presión elevada. Cuando se abre el orificio en la parte inferior del recipiente, el agua expulsada ejerce una fuerza sobre el recipiente similar al empuje que experimenta un cohete al expulsar el combustible quemado por sus toberas.

El análisis del sistema físico tiene las siguientes partes:

• Llenado de aire del recipiente mediante una bomba de bicicleta o similar
• Apertura del orificio en la parte inferior del recipiente y expulsión del agua, que ya hemos estudiado en la página anterior.
• Empuje que experimenta el recipiente al expulsar el agua
• Ecuaciones del movimiento.

Esta página está inspirada en el artículo

Finney G.A., Analysis of water-propelled rocket: A problem in honors physics. Am. J. Phys. 68 (3) March 2000, pp. 223-227.

Datos del cohete

El cohete consta de un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio y 50 cm de altura.

El radio del orificio situado en la parte inferior se puede modificar entre 1/2 y 1/10 del radio del recipiente. Por ejemplo, al elegir ¼, el radio del orificio es 10/4=2.5 cm

Otro dato es la proporción de agua en el recipiente. Por ejemplo una proporción del 70% equivale a una altura de agua de 0.7·50=35 cm.

El cohete puede transportar una carga que es la suma de la carga útil más la masa de las paredes del recipiente.

Llenado de aire

Antes de accionar la bomba tenemos n₀ moles de aire en el recipiente a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente T.

Cada vez que accionamos la bomba de volumen V_b, introducimos en el recipiente n moles de aire a la misma temperatura T.

Después de accionar la bomba N veces, la presión p₀ del aire en el recipiente que mide el manómetro situado a su derecha es

La presión final p₀ del aire en el recipiente después de accionar N veces la bomba, que marca el manómetro será, por tanto.

Ejemplo:

Supongamos que el tanto por ciento de agua en el recipiente es del 70%, la altura inicial de agua es h₀ =0.7·H=0.7·50=35 cm.

Accionamos tres veces la bomba N=4 veces

El volumen de la bomba V_b= 5 litros, y el recipiente tiene un radio r₁=10 cm. La presión será de p₀=5.24 atm que es lo que marca el manómetro.

Salida del agua por el orificio

El volumen de aire inicial es V₀=S₁·(H-h₀) y el volumen de aire final es V= S₁·H. Si la presión inicial del aire es de p₀=5.24 atm, la presión p cuando se ha expulsado toda el agua del recipiente, suponiendo una transformación isotérmica,es

Con H=50 cm, y h₀=35 cm, la presión final es p=1.57 atm.

Si elegimos un orificio de 1/6 estamos indicando que su radio es r₂=r₁/6=10/6 cm

Con estos datos, podemos calcular el tiempo t que tarda en salir toda el agua del recipiente mediante la expresión obtenida en la aproximación efectuada en la página anterior

Tomando p_at=101293 Pa, p₀=5.24 atm, y p=1.57 atm, el resultado es t=0.76 s.

Empuje que experimenta el cohete

El recipiente experimenta un empuje que es el producto de la velocidad de salida del agua por la masa de agua expulsada en la unidad e tiempo. El volumen de agua expulsado en la unidad de tiempo (gasto) es S₂·v₂.

donde v_e es la velocidad de salida de la masa expulsada en el sistema de referencia del cohete, y dM/dt es la masa expulsada en la unidad de tiempo.

Como hemos visto en la página anterior el comportamiento del recipiente está descrito por tres ecuaciones:

1. La ecuación de Bernoulli,



2. La ecuación de continuidad,

S₁·v₁=S₂·v₂

3. Expansión isotérmica del gas

p₀·S₁(H-h₀)=p₁·S₁(H-h)

que nos permiten obtener la expresión de v₁ ó v₂ en función de la altura h de agua en el recipiente.

Aproximación

Si suponemos que la presión debida a la velocidad v₁ en la interfase agua-aire y la presión debida a la altura h del agua son pequeñas comparadas con la presión p₁=p del aire en el interior del recipiente, la ecuación de Bernoulli se escribe

Expresamos de forma simple, el empuje E en función de la presión p.

Como vimos en la página anterior la variación de presión con el tiempo se obtiene

Ecuaciones del movimiento

La masa del recipiente no es constante, disminuye con el tiempo al ser expulsada el agua, es la suma de la carga útil, de la masa de las paredes del recipiente y del agua que contiene en el instante t.

Hay dos ecuaciones del movimiento:

1. Mientras se expulsa agua por el orificio

ma=E-mg

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas:

• La ecuación del movimiento
• Una ecuación diferencial de primer orden, que nos calcula la variación de h con el tiempo.

En el programa interactivo se ha resuelto el sistema de dos ecuaciones diferenciales por el método de Runge-Kutta, sin realizar ninguna aproximación. Lo que nos permite incluso examinar el caso de que la presión del aire en el interior del recipiente no sea suficiente para expulsar toda el agua del mismo, y se alcance una altura del fluido en equilibrio tal como vimos en la página anterior.

2. Cuando se ha agotado el agua

Una vez que se ha agotado el agua del depósito, el aire en el interior del depósito tiene una presión p mayor que la presión atmosférica, pero supondremos despreciable el impulso adicional proporcionado por la salida del aire por el orificio inferior hasta que se igualan las presiones en el interior y exterior del recipiente.

a=-g
v=v₀-g(t-t₀)
x=x₀+v₀(t-t₀)-g(t-t₀)²/2

donde x₀, y v₀ son la posición y la velocidad del móvil en el instante t₀ en el que se ha agotado el combustible, en este caso, agua.

El rozamiento del aire

Al moverse un cuerpo en el aire con velocidad v, experimenta una fuerza de rozamiento, que es proporcional al cuadrado de la velocidad

Esta fuerza de rozamiento no es importante durante la fase de lanzamiento que dura poco tiempo y durante la cual la fuerza de empuje es la que predomina, pero puede ser importante en la fase de vuelo libre desde que se agota el combustible hasta que alcanza la máxima altura.

La fuerza de rozamiento no se ha tenido en cuenta en la simulación del cohete propulsado por agua.

Actividades

En el applet, se introduce la proporción de agua en el recipiente, actuando en la barra de desplazamiento titulada % de agua

El radio del orificio de salida del agua, eligiendo una fracción del radio del depósito en el control selección titulado radio orificio.

La carga que transporta el cohete (que incluye la carga útil y las paredes del recipiente) introduciendo un valor en el control de edición titulado carga.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

A continuación, se pulsa varias veces en el botón titulado Aire, para introducir aire en el interior del recipiente. En el manómetro situado a la derecha del cohete vemos como va aumentando la presión.

Se pulsa el botón titulado Despega.

Veremos que el agua es expulsada por el orificio inferior, el aire se expande en el interior del recipiente disminuyendo la presión.

Dos flechas indican las magnitudes relativas del peso y del empuje durante la fase de lanzamiento. Cuando se agota el agua el empuje se hace cero, y el cohete se mueve hasta que alcanza la altura máxima.

En la parte izquierda del applet, un punto de color rojo indica la posición (altura) del cohete.

Como ejercicio, se sugiere al lector que fije la presión inicial del aire en el recipiente, la carga útil y el radio del orificio, y trate de buscar la proporción óptima de agua en el cohete a fin de que alcance la altura máxima posible. En general, que examine el comportamiento del cohete al cambiar los distintos parámetros.