Sólido rígido

Estática. Elasticidad

Momento de una fuerza

Medida del módulo
de elasticidad

Flexión de una viga

Medida del módulo
de cizallamiento

Catenaria

Actividades

Formulación continua

Catenaria no simétrica

Actividades

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catanaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.

La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta

Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos T_x.

T_x=Tcosq₀= Tcosq_i= Tcosq_i+1 =Tcosq_N+1

Dividiendo la segunda ecuación por T_x tenemos la siguiente relación entre el ángulo q _i y el ángulo q _i+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal T_x de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

tgq₁=tgq₀-g
tgq₂=tgq₁-g
tgq₃=tgq₂-g
...............
tgq_i=tgq_i-1-g
.............
tgq_N-1=tgq_N-2-g
tgq_N=tgq_N-1-g

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo q_N en función del ángulo inicial q₀.

tgq_N=tgq₀-Ng

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que

tgq₀=- tgq_N

Por tanto,

tgq₀=Ng /2

Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo q_i en función del ángulo inicial q₀.

tgq_i=tgq₀-g i=(N-2i)·g /2

El ángulo q_i que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial q₀ y el final q_N se calculan mediante la siguiente fórmula

Las coordenadas (x_i, y_i) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosq _j y d·senq _j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)

Actividades

Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet

• El número de bolitas, un número comprendido entre 3 y 30.
• El valor del parámetro g , un número comprendido entre 0.5 y 2.0 que representa el cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal T_x de la tensión del hilo.

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.

Formulación continua

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo O:

• el peso,
• la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento,
• la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.

La condición de equilibrio se escribe

Tcosq =T₀

Tsenq =r gs

O bien,

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds²=dx²+dy²

                  (1)

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

La ecuación de la catenaria es, finalmente

                    (2)

La longitud de la catenaria es

                     (3)

Conocidos

• La longitud de la catenaria L
• La densidad del cable r
• La "luz" de la catenaria a.

Se resuelve numéricamente la última ecuación (3) y se calcula T₀. A continuación, se representa la ecuación de la catenaria (2).

La figura es una superosición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua aproximadamente coinciden cuando el parámetro g  es grande incluso cuando el número de bolitas fijadas al hilo es pequeño. Ambas aproximaciones difieren cuando g  es pequeño. El parámetro  g=mg/T_x   es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

Catenaria no simétrica

En el caso de que la catenaria no sea simétrica, es decir, uno de los extremos esté a distinta altura que el otro, la ecuación de la catenaria resulta bastante más complicada.

Partimos de la ecuación diferencial (1), la integramos y tomamos como límite inferior el origen O, en vez del punto A, el más bajo del cable, que ahora ya no es el punto medio x=a/2, sino otro desconocido.

Donde C₁=r g/T₀ es una constante que depende de T₀ (la tensión en el punto más bajo del cable) que es de momento desconocida, y C₂ es una constante de integración cuyo valor es también desconocido.

Integrando de nuevo, respecto de x

Las tres constantes de integración se obtienen a partir de las condiciones siguientes:

• Que el extremo izquierdo del cable x=0, y=0
• Que el extremo derecho del cable x=a, y=b.
• La longitud del cable es L.

Actividades

Para representar la catenaria de longitud L dada, se sitúa el puntero del ratón en el pequeño cuadrado de color rojo en el extremo derecho del cable, se pulsa el botón izquierdo del ratón y se arrastra.

Cuando se libera el botón izquierdo del ratón, se dibuja la catenaria.

Ejemplo:

Consideremos el caso de la catenaria simétrica, cuando los dos extremos están a la misma altura.

Primero resolvemos la ecuación trascendente (3)

A continuación calculamos la "flecha" h

Sea la longitud del cable L=100, y la "luz" a=50. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación transcendente, cuya solución es g =0.04355, y a continuación calculamos h=39.8

Si cambiamos la "luz" a=80, obtenemos g =0.01478, y h=26.53