Fluidos |
Tensión superficial Gotas. Ley de Tate
Tensión superficial de una pompa de jabón (I) Tensión superficial de una pompa de jabón (II) Método de la burbuja Fenómenos capilares
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Presión producida por la
curvatura de una superficie Deducción alternativa de la ecuación de Laplace para una gota |
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| Young y Laplace dedujeron de forma independiente en 1805 la fórmula de la diferencia de presión entre el interior y el exterior de una superficie esférica de radio R. La fórmula de Young-Laplace demuestra que la presión en el interior de de una superficie esférica es siempre mayor que fuera, que disminuye al aumentar el radio, hasta que se hace cero cuando la superficie es plana (radio infinito). La diferencia de presión se incrementa cuando disminuye al radio de dicha superficie. Los líquidos tienden a minimizar su superficie. Por esta razón las gotas tienen forma esférica en ausencia de gravedad. La tensión superficial tiende a reducir el área de la superficie y por tanto el volumen de la gota. La diferencia de presión tiende a incrementar el volumen de la gota, la condición de equilibrio se alcanza cuando ambas tendencias se compensan.
Presión producida por la curvatura de una superficieVamos a mostrar que en el interior de una gota o una burbuja en equilibrio hay una presión superior a la externa. Este exceso de presión es debido a la curvatura de la superficie límite de separación.
La diferencia de presión entre el interior de la burbuja y el exterior origina fuerzas sobre la superficie de la burbuja perpendiculares a la superficie esférica, tal como indican las flechas azules de la figura de abajo. Su proyección a lo largo del eje horizontal X, será el producto de la diferencia de presión (p-p0) por el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje X (la proyección de una semiesfera de radio R, sobre un plano es un círculo de área p R2.
En el equilibrio F1=F2
la diferencia de presiones es tanto mayor cuanto menor es el radio R. Esta expresión es un caso particular de la denominada ley de Laplace. El factor cuatro aparece por que una pompa de jabón tiene dos caras: interior y exterior. En el caso de una gota de agua, solamente hay una cara por lo que la diferencia de presión se reduce a la mitad.
Deducción alternativa de la ecuación de Laplace para una gota
Sea p0 la presión exterior. Para formar la gota de radio r es necesario aplicar mediante el émbolo una presión p algo mayor que p0. El trabajo realizado por el émbolo sobre el líquido al desplazarse es p·dV . Pero la gota realiza un trabajo p0·dV sobre su entorno ya que desplaza el aire al incrementar su volumen dV. Ambos volúmenes son iguales debido a que el líquido es incomprensible. El trabajo total sobre el líquido será dW=(p-p0)·dV Este trabajo se emplea en incrementar la superficie de la gota, mientras se mantiene la temperatura y el volumen del líquido constantes. dW=g dA Igualando ambos trabajos y teniendo en cuenta las fórmulas del área y del volumen de una superficie esférica.
dV=4p r2dr, y dA=8p r·dr
Comunicando dos pompas de jabónSi ponemos dos pompas de jabón de radios R1 y R2 en los extremos de un tubo, y abrimos la llave que las comunica veremos que la pompa de jabón de radio menor es "comida" por la pompa de radio mayor.
Como consecuencia de la diferencia de presión, el aire circula por el tubo de comunicación con una velocidad dada por el teorema de Bernoulli
El volumen de aire que pasa de la segunda esfera a la primera en el tiempo dt es vSdt, siendo S la sección del tubo que comunica ambas esferas. El volumen de la primera esfera aumenta, y el de la segunda disminuye. dV1=Svdt
El volumen total es constante, Tenemos que integrar la ecuación diferencial con la condición inicial siguiente, en el instante t=0, los radios iniciales de las esferas son, respectivamente, R01 y R02. El programa interactivo realiza la integral respecto de R1 aplicando el procedimiento numérico de Simpson, obtiene una tabla de valores (R, t) y a partir de ellos calcula una función de interpolación para cualquier valor de t empleando el procedimiento denominado polinomio de Lagrange.
ActividadesSe introduce el radio inicial de cada una de las esferas, en los controles de edición titulados Radio burbuja. En la parte izquierda se representa la esfera de mayor radio. Se introduce un valor para la tensión superficial de la pompa de jabón comprendido entre 20·10-3 y 80·10-3 N/m, en el control de edición titulado Tensión superficial. Se pulsa el botón titulado Empieza para observar como la burbuja pequeña se hace cada vez más pequeña mientras crece la burbuja grande. Observar el tiempo que tarda en desaparecer la burbuja pequeña, comparando diversas situaciones:
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Presión producida por la
curvatura de una superficie
, e igual al
volumen inicial.