Cinemática |
Movimiento rectilíneo y circular Movimiento rectilíneo Movimiento de caída de los cuerpos Regresión lineal Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo u. acelerado Movimiento circular Encuentro de dos vehículos Relación entre las magnitudes lineales y angulares La aceleración normal
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Movimiento
circular uniforme Movimiento circular no uniforme Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal |
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| Es interesante explorar otras deducciones alternativas de las fórmula de
la aceleración normal. En este caso se presenta una deducción tomada del artículo
Leff H. Acceleration for circular motion. Am. J. Phys. 70 (5) May 2002. que tiene la ventaja de que se puede extender a movimientos circulares no uniformes. Estas deduciones se pueden comparar con las realizadas en las páginas tituladas "Relación entre las magnitues angulares y lineales" y Deducción de la fórmula de la aceleración normal siguiendo el procedimiento de Newton.
Movimiento circular uniformeConsideremos que una partícula describe un movimiento circular de radio r con velocidad constante v.
La partícula se encuentra en la posición A en el instante t-Dt/2, y su velocidad (tangente a la trayectoria) es v1. La partícula se encuentra en la posición simétrica B en el instante t+Dt/2 y su velocidad es v2. Coloquemos los dos vectores velocidad v1 y v2 que tienen la misma longitud v con vértice en el punto P y calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia Dv=v2-v1.
Por tanto el vector Dv es paralelo a la dirección radial PO, y está dirigido hacia el centro O. Como la partícula recorre el arco AB de ángulo 2f con velocidad v constante.
El valor medio de la componente normal de la aceleración es por tanto,
La componente normal de la aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo D t® 0, o bien cuando f ® 0. En este límite, senf /f ® 1 y por tanto, la componente normal de la aceleración en el instante t o en el punto P es
Naturalmente, la componente tangencial de la aceleración es cero en dicho instante, at=0.
Movimiento circular no uniformeSupongamos que la partícula pasa por el punto A en el instante t-Dt1 y lleva una velocidad v1 (tangente a la trayectoria), y pasa por el punto simétrico B en el instante t-Dt2 llevando una velocidad v2. Como el movimiento no es uniforme los módulos de las velocidades serán diferentes. Calculamos las componentes radial o normal y tangencial del vector diferencia D v=v2-v1.
Al no ser los vectores velocidad de igual módulo, el vector diferencia Dv y por tanto la aceleración no tienen en general, dirección radial. La partícula recorre el arco AB de ángulo 2f empleando un tiempo Dt=Dt1+ Dt2. La velocidad media <v> de la partícula en este intervalo de tiempo es
La componente normal y tangencial de la aceleración serán por tanto,
En el límite cuando el intervalo de tiempo Dt® 0, o bien cuando f ® 0, se cumple que, senf / f ® 1, cosf ® 1. La velocidad media <v>® v es la velocidad en el instante t cuando el móvil pasa por P, y también la velocidad promedio (v1+v2)/2® v. De este modo obtenemos la misma fórmula de la componente normal de la aceleración que en el apartado anterior. En cuanto a la componente tangencial, el numerador es un cambio infinitesimal en el módulo de la velocidad dv y el denominador es el tiempo dt que tarda la partícula en efectuar dicho cambio. Las componentes de la aceleración serán, por tanto,
Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal
El vector velocidad v se obtiene derivando el vector posición respecto del tiempo
El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad
El vector aceleración tiene dos componentes, que podemos expresar en virtud de las relaciones entre magnitudes angulares y lineales de dos formas. La componente radial está dirigida hacia le centro de la circunferencia an=w2r=v2/r, La componente tangencial tiene la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria at=a r=dv/dt. |
Deducción alternativa
de at y an.
