1. A quoi sert un filtre ?

En optique, on peut utiliser par exemple un filtre rouge pour obtenir à partir d'une lumière blanche polychromatique une lumière rouge, par élimination des composantes bleue, verte, jaune... de la lumière blanche. .
De manière générale, le rôle d'un filtre est de supprimer ou d'atténuer fortement le signal pour certaines fréquences, et de le transmettre presque intégralement pour d'autres.
Appliqué à un signal complexe, un filtre est ainsi capable de 'trier' les composantes du signal en fonction de leur longueur d'onde.
Pour chaque fréquence, on peut ainsi définir le facteur d'atténuation dû au filtre :
 

2. Facteur d'atténuation  : Si E est l'amplitude du signal initial et S celle du signal de sortie l'effet du filtre peut se mesurer par la grandeur  (facteur d'atténuation, ou gain, dépendant de la fréquence f). Plus A est proche de 0, plus la fréquence est atténuée.


 
 
 
3. On peut également exprimer cette atténuation en décibels (dB) :

4. Courbe de réponse en fréquence : c'est la courbe montrant les variations de A (ou de G) en fonction de la fréquence ;

5. Bande passante. Fréquence de coupure
1. Filtre idéal

 

Sa courbe de réponse serait de la forme ci-dessus, l'intervalle ]f1;f2[ étant appelé bande passante en fréquence du filtre.

f1 et f2 sont les fréquences de coupure . Avec f1<f2:
• si f1 et f2 ont une valeur finie, comme sur la figure, on a un filtre passe-bande.
• si f1=0 , f2 ayant une valeur finie,on a un filtre passe-haut
• si f1 a une valeur finie avec  on a un filtre passe-bas

On a un filtre coupe-bande si, f1 et f2 ayant une valeur finie, on a une courbe de réponse du type représenté ci-dessus

 

Remarque : on utilise également souvent la bande passante en pulsation ]w₁;w₂[  w₁=2pf₁ et w₂=2pf₂
2. Filtre réel

La caractéristique d'un filtre réel est plus proche du modèle représenté ci-dessus, avec  ( pour la courbe en dB  ) Il est donc plus difficile de déterminer les limites de la bande passante. La convention généralement adoptée est celle de la bande passante à -3dB : on définit les fréquences de coupure f1 et f2 comme les fréquences pour lesquelles G=-3dB , ce qui équivaut à  ( pour un filtre passe-haut ou passe-bas il n'y a qu'une seule fréquence de coupure)

Les différents circuits présentés sont étudiés comme des filtres en tension Le signal d'entrée ue et le signal de sortie us sont des tensions

1.   Filtres RC

Ils utilisent les propriétés des condensateurs :
•  en basse fréquence l'impédance du condensateur (rapport U/I ) est forte. A la limite, en courant continu, il est analogue à un interrupteur ouvert
• en  haute fréquence son impédance est faible, elle tend vers 0 pour les très hautes fréquences : il est alors pratiquement analogue à un conducteur parfait.

 Attention toutefois : le condensateur induit un déphasage , ce qui n'est pas le cas pour l'interrupteur ou le conducteur parfait !

Comment fixer la frontière entre haute et basse fréquence (courte ou longue période) ?
F Le condensateur est toujours utilisé en association avec une résistance .
La constante de temps RC sert de durée de référence

1. Filtre passe-bas:

 

On montre que la fréquence f0 de coupure à -3dB est égale à ( pulsation de coupure w0=1/RC)

2. Filtre passe-haut :

 

On montre que la fréquence f0 de coupure à -3dB est égale à ( pulsation de coupure w0=1/RC)


 
2. Filtres RLC  passe-bande et coupe-bande

On utilise les circuits oscillants LC , de fréquence propre , pour obtenir des filtres passe-bande ou coupe-bande (voir cours de Physique du tronc commun) .
 
1. Filtre RLC série passe-bande:

Pour une valeur donnée de la tension efficace Ue, l'intensité efficace (ainsi par conséquent que la tension efficace Us aux bornes de R) sont maximales pour la fréquence . On a un filtre passe-bande en intensité. La largeur de la bande passante à -3dB est égale à  La sélectivité du filtre est mesurée par le facteur de qualité

2. Filtre coupe-bande rL,C parallèle

Si une bobine non résistive (r=0)  est en parallèle avec un condensateur les intensités iL et iC sont en opposition de phase. On a donc .  D'autre part,  pour la fréquence : Les intensités dans les deux branches sont égales et en opposition de phase => leur somme est nulle On aura donc i=0 dans le reste du circuit : on parle de circuit 'bouchon'

Pour un tel filtre , à la résonance, on a de fortes surintensités dans chacune des branches. L'oscillateur LC excité à sa fréquence de résonance oscille 'en circuit fermé' avec une grande amplitude au détriment du reste du circuit.
 

3. Application : circuit d'accord (réception des ondes hertziennes)

Exemple ci-contre : C=1nF, r=2W et L=10µH.  L'intensité du courant i est égale à 1µA. Les courbes ci-contre représentent les variations de Ic et Ib (en haut) et Ue (en bas) en fonction de la fréquence.

A partir d'une multiplicité de fréquences d'ondes hertziennes correspondant à tous les émetteurs existant, l'ensemble (antenne+circuit) permet de sélectionner celles voisines de f₀.