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Oscilaciones |
Osciladores
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El periodo del péndulo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En el capítulo de Sólido rígido estudiamos las oscilaciones pequeñas de un péndulo compuesto. En esta página, vamos a estudiar el comportamiento general de un péndulo, para pequeñas y grandes amplitudes, e incluso cuando el péndulo da vueltas. La ecuación diferencial que describe el comportamiento del péndulo compuesto es
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq »q . El péndulo describe un M.A.S. cuyo periodo P0 es
El periodo del pénduloSupongamos que el péndulo está en la posición de equilibrio estable, y le proporcionamos una energía E. El péndulo adquiere una velocidad inicial w0. A medida que se desplaza un ángulo q la energía cinética de rotación se convierte en energía potencial, hasta que alcanza una desviación máxima q0 cuando w =0. Luego, se realiza el proceso inverso, la energía potencial se convierte en energía cinética de rotación, hasta que al pasar de nuevo por la posición de equilibrio q =0, toda la energía potencial se ha convertido en cinética, la velocidad angular del péndulo será -w0. A continuación, el péndulo alcanza de nuevo la desviación máxima -q0, y finalmente, regresa a la posición de equilibrio estable completándose la oscilación.
Cuando el péndulo alcanza la máxima desviación w=0, y E=mgb(1-cosq0)
Despejando el tiempo dt en la ecuación diferencial
Sustituyendo
resulta
Integramos
Cuando el péndulo alcanza la desviación máxima q =q0 o bien, cuando j =p /2, ha empleado un cuarto del periodo P de la oscilación completa. El periodo P de una oscilación lo podemos escribir
donde P0 es el periodo de las oscilaciones de pequeña amplitud. Una integral elíptica se puede desarrollar en serie, los detalles del desarrollo se pueden consultar en los libros de análisis (Puig Adam, Calculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág 97) , aquí solamente pondremos el resultado.
La conclusión final, es que el periodo P crece con la amplitud q0. Mientras que el periodo P0 es independiente de la amplitud siempre que la amplitud no sea muy grande y se pueda aplicar la aproximación senq »q . Los primeros tres términos del desarrollo en serie se ajustan bien con los resultados experimentales para ángulos menores q0<50º. Para otros ángulos, se puede realizar una integración numérica por los métodos como el trapecio o mejor por el método de Simpson. Para simular el movimiento del péndulo para cualquier amplitud, se ha resuelto la ecuación diferencial de su movimiento (1), aplicando el procedimiento numérico de Runge-Kutta. En la siguiente tabla se proporcionan
Curva de la energía potencialComo ya hemos visto en este capítulo las curvas de energía potencial nos suministran información cualitativa acerca del comportamiento del sistema físico. La energía potencial del péndulo es Ep=mgb(1-cosq ). La energía potencial máxima del péndulo es 2mgb, cuando está en posición invertida. Representamos en la parte superior derecha del applet, el cociente de la energía potencial Ep entre la energía potencia máxima, en función del ángulo q , es decir la función
En estas unidades la energía potencial máxima es la unidad para q =p , cuando el péndulo está invertido (posición de equilibrio inestable) y la mínima (cero) para q =0, posición de equilibrio estable. En dicho diagrama representamos mediante una recta de color negro la energía total E, suma de la energía potencial y de la energía cinética. Un segmento vertical de color rojo señala la energía potencial del péndulo para la posición q , y un segmento de color azul la energía cinética del péndulo en dicha posición. Los valores de la energía total, cinética y potencial se han dividido por la energía potencial máxima 2mgb. El principio de conservación de la energía establece que la suma de la energía cinética y la energía potencial es constante. De modo, que la energía cinética es máxima cuando la energía potencial es mínima (cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio estable) y la energía cinética es mínima (cero) cuando el péndulo alcanza la desviación máxima. El espacio de las fases En el diagrama de fases representamos la velocidad angular w (o el momento angular I0·w ) en función del desplazamiento angular q. Si el movimiento de un sistema físico es periódico el sistema vuelve al mismo estado después de un ciclo completo. La representación de su trayectoria en el espacio de las fases es una curva cerrada. Para obtener la ecuación de dicha trayectoria basta escribir el principio de conservación de la energía
Para una energía total dada E, esta ecuación nos relaciona la velocidad angular w con el desplazamiento angular q . Observamos que la trayectoria en el espacio de las fases es simétrica respecto del eje vertical w (de la velocidad angular). Esta simetría quiere decir, que el movimiento del péndulo es el mismo en el sentido de las agujas del reloj que en sentido contrario. Pueden suceder dos casos: OscilacionesQue la energía total E del péndulo sea menor que el máximo valor de la energía potencia (E<2mgb) o bien (e<1). En el diagrama de la energía potencial vemos que la energía total es menor que la altura de la barrera de potencial. El péndulo oscila entre dos posiciones extremas q0 y -q0. Esta amplitud la podemos calcular poniendo w =0 en el principio de conservación de la energía. E=2mgb(1-cosq 0)
Ejemplo: sea e=0.5 (energía en unidades de la energía potencial máxima) entonces q0=p /2=90º. Si e=0.1 entonces q0=36.9º Si la amplitud es pequeña, el péndulo describe un Movimiento Armónico Simple y la trayectoria en el espacio de las fases se aproxima a una elipse.
Los denominadores de esta última expresión nos dan los cuadrados de los semiejes de la elipse. El semieje horizontal (máxima amplitud) vale
A medida que se aumenta la energía, la trayectoria en el espacio de las fases se desvía de la forma elíptica y la oscilación deja de ser armónica. Como el péndulo pasa mucho más tiempo en las proximidades de su desviación máxima q0, la trayectoria en el espacio de las fases se hace más aguda en los extremos izquierdo y derecho, y aplana en la parte superior e inferior.
RotacionesCuando la energía total E del péndulo es mayor que el máximo valor de la energía potencial (E>2mgb) o bien (e>1), el péndulo da vueltas completas. El movimiento de rotación no es uniforme, la velocidad es máxima cuando pasa por la posición de equilibrio estable y es mínima cuando pasa por la posición de péndulo invertido. La posición angular del péndulo se incrementa continuamente y la velocidad angular es siempre positiva (si la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj). El péndulo repite el mismo movimiento cuando su posición angular q se incrementa en 2p , 4p , etc. Para describir este movimiento en el espacio de las fases, es suficiente con considerar la parte de dicho espacio comprendida entre -p y p . El punto que representa la posición y la velocidad angular del péndulo en el espacio de las fases sale de dicha región por la derecha y entra por la izquierda.
Trayectoria separatrizCuando la energía total del péndulo E=2mgb, (e=1) estamos en el caso límite. La trayectoria del punto representativo en el espacio de las fases está señalada en color rojo en la parte inferior derecha del applet y se denomina separatriz. Poniendo E=2mgb en el principio de conservación de la energía, obtenemos la ecuación de la separatriz
La separatriz divide al espacio de las fases en regiones que corresponden a dos tipos distintos de movimiento. Cuando el péndulo alcanza la posición q =-p o q =p , su velocidad angular w =0, el péndulo se encuentra en un estado de equilibrio inestable, en la denominada posición invertida. Un pequeño desplazamiento en uno u otro sentido hace que el péndulo oscile con una amplitud muy próxima a p . Y un pequeño empuje hace que describa un movimiento de rotación. El péndulo como vemos en la siguiente tabla pasa mucho tiempo en la vecindad de la posición invertida y su periodo P se hace infinito para la energía E=2mgb (e=1).
ActividadesSe introduce el valor de la energía total e en el control de edición titulado Energía. Este valor es el cociente entre la energía total del péndulo E y la energía potencial máxima 2mgb. Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa el movimiento del punto representativo en el espacio de las fases y la forma de la trayectoria que describe. En la parte superior derecha del applet podemos observar cómo cambia la energía cinética (línea gruesa de color azul) y la energía potencial (en color rojo) con la posición q del péndulo. En la parte superior izquierda del applet se proporciona el valor del tiempo t en unidades de P0 periodo del péndulo para pequeñas oscilaciones. Y la amplitud q0 de las oscilaciones (e<1) Con ayuda de los botones Pausa/Continua y Paso, podemos medir el periodo del péndulo para cualquier amplitud. Para una mayor exactitud se pueden medir cinco oscilaciones completas y dividir el tiempo total entre cinco para hallar el periodo P del péndulo en unidades de P0. |
Oscilador no lineal
(1)
(2)
