Fluidos

Estática de fluidos

Ecuación fundamental

Densidad relativa de un
 líquido

Prensa hidráulica

Principio de Arquímedes

Medida de la densidad 
de un líquido

Flotación entre dos líquidos
no miscibles

Movimiento de un cuerpo
en el seno de un fluido ideal

Flotación de un barco

Oscilaciones de una boya

Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

Energía potencial de un cuerpo parcialmente sumergido

Actividades

Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en la figuras:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.

Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto de fluido. La fuerza que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de separación es igual a p·dS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.

Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empuje y su punto de aplicación es el centro de masa de la porción de fluido, denominado centro de empuje.

De este modo, para una porción de fluido en equilibrio con el resto se cumple

Empuje=peso=r_f·gV

El peso de la porción de fluido es igual al producto de la densidad del fluido r_f  por la intensidad de la gravedad g y por el volumen de dicha porción V.

Se sustituye la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

Si sustituimos la porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones. Las fuerzas debidas a la presión no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado empuje es el mismo, y actúa sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.

Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de acción que es su propio centro de masa que puede o no coincidir con el centro de empuje.

Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en principio el mismo valor ni están aplicadas en el mismo punto. En los casos más simples, supondremos que el sólido y el fluido son homogéneos y por tanto coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.

Energía potencial de un cuerpo en el seno de un fluido

Cuando un globo de helio asciende en el aire sobre actúan las siguientes fuerzas: El peso Fg=–mgj . El empuje Fe= rVgj, siendo r la densidad del globo de helio. La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada

• La fuerza conservativa peso F_g=–mgj está asociada con la energía potencia E_g=mg·y.
• Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje F_e= rVg j está asociada a la energía potencial E_e=- rVg·y.

Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es

E_p=(mg- rVg)y

A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento F_r debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.

r Vg- mg-F_r=0

Como rVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial  E_p disminuye.

Otra forma de obtener esta conclusión es empleando el balance de energía

El trabajo de las fuerzas no conservativas F_nc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo, y la energía cinética E_k no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final E_pB es menor que la energía potencia inicial E_pA.

En la página titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido ideal", estudiaremos la dinámica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservación de la energía.

Energía potencial de un cuerpo parcialmente sumergido

En el apartado anterior estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de helio en la atmósfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilíndrico que se sitúa sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).

Pueden ocurrir dos casos:

• Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo sólido es menor que la densidad del fluido, r_s< r_f.
• Que el cuerpo se sumerja totalmente si r_s³ r_f.

Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el peso mg=r_sSh·g que es constante y el empuje r_fSx·g que no es constante. Su resultante es

F=(-r_sShg+r_fSxg)j.

Donde S el área de la base del bloque, h la altura del bloque y x la parte del bloque que está sumergida en el fluido.

Tenemos una situación análoga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elástico en posición vertical. La energía potencial gravitatoria mgy del cuerpo disminuye, la energía potencial elástica del muelle kx²/2 aumenta, la suma de ambas alcanza un mínimo en la posición de equilibrio, cuando se cumple –mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.

El mínimo de E_p se obtiene cuando la derivada de E_p respecto de y es cero, es decir en la posición de equilibrio.

La energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido será, de forma análoga es

El mínimo de E_p se obtiene cuando la derivada de E_p respecto de y es cero, es decir, en la posición de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. -r_sShg+r_fSxg=0

El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta fórmula, se ha designado r como la densidad relativa del sólido (respecto del fluido) es decir, la densidad del sólido tomando la densidad del fluido como la unidad.

Fuerzas sobre el bloque

1. Cuando r <1 o bien r_s< r_f, el cuerpo permanece parcialmente sumergido en la situación de equilibrio.

2. Cuando r >1 o bien r_s> r_f, el peso es siempre mayor que el empuje, la fuerza neta que actúa sobre el bloque es

F_y=-r_sShg+r_fShg<0.

No existe por tanto, posición de equilibrio, el bloque cae hasta que llega al fondo del recipiente que supondremos muy grande.

3. Cuando r =1 o bien r_s= r_f, El peso es mayor que el empuje mientras el bloque está parcialmente sumergido (x<h).

F_y=-r Shg+r Sxg<0.

La fuerza neta que actúa sobre el bloque cuando está completamente sumergido (x³ h) es cero, y cualquier posición del bloque completamente sumergido en el seno del fluido es de equilibrio.

Curvas de energía potencial

1. La energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa peso es

E_g= r_sShgy

2. La energía potencial correspondiente a la fuerza de empuje tiene dos partes

• Mientras el cuerpo está parcialmente sumergido (x<h)

Que corresponde al área del triángulo de la figura de la izquierda.

• Cuando el cuerpo está totalmente sumergido (x³ h)

Que corresponde a la suma del área de un triángulo de base h, y la de un rectángulo de base x-h.

3. La energía potencial total es la suma de las dos contribuciones

E_p=E_g+E_f

Cuando la densidad del sólido es igual a la del fluido r_s= r_f, la energía potencial total E_p es constante e independiente de x (o de y) para x³ h como puede comprobarse fácilmente.

Actividades

• En el applet de esta página, se introduce la densidad del sólido r relativa al fluido en el control de edición titulado Densidad.
• Se pulsa el botón titulado Empieza.

El bloque tiene una altura h=1 de una unidad y una sección S. Se coloca el bloque justamente encima de la superficie del fluido. La altura de su centro de masas es y₀=1.5 unidades.

Se suelta el bloque, y llega hasta la posición final de equilibrio y_e= r h, si la densidad r <1, hasta el fondo del recipiente si la densidad r >1.

El programa interactivo no hace ninguna suposición acerca del modo en el que el bloque parte de la posición inicial y llega a la posición final (no calcula la posición y velocidad del cuerpo en cada instante), ya que el objetivo del programa es el de mostrar los cambios en la energía potencial E_p del cuerpo con la posición y del c.m. del mismo.

En la parte derecha del applet, se traza la energía potencial debida a la fuerza conservativa peso E_g (en color negro), la energía potencial debida al empuje E_f (en color azul) y la suma de ambas contribuciones E_p (en color rojo) en función de la posición y del c.m. del bloque

Como podemos apreciar la curva de la energía potencial gravitatoria E_g (en color negro) es una recta cuyo valor máximo está en la posición inicial y=1.5 y es cero cuando el bloque llega al fondo y=0.

La curva de la energía potencial correspondiente al empuje E_f (en color azul) es algo más complicada y consta de dos partes: Una parábola mientras el cuerpo está parcialmente sumergido (x<h) ó (y>0.5), unida a una línea recta cuando el cuerpo está completamente sumergido (x³ h) ó (y£ 0.5). La energía potencial inicial es cero y se va incrementando a medida que el cuerpo se sumerge en el fluido.

La curva de la energía potencial total E_p (en color rojo) es la suma de las dos contribuciones, E_p=E_g+E_f

Para trazar estas gráficas se ha tomado como unidad de energía, la energía potencial inicial del bloque r_sShg·y₀ con y₀=1.5, h=1 y r_s=r , densidad del sólido relativa al fluido r_f=1. De este modo, la energía potencial inicial del bloque es una unidad.

Se presentan tres casos:

1. Cuando r <1, la energía potencial presenta un mínimo en x= r h. En este caso con x=y₀-y, h=1 e y₀=1.5, tendremos que la posición del c.m. en el equilibrio será y_e=1.5-r .

1. Cuando r >1 la curva de la energía potencial no tiene mínimo y por tanto, no hay posición de equilibrio estable.

1. En el caso límite en el que r =1 la energía potencial para y£ 0.5 es una línea recta horizontal, y la posición de equilibrio del c.m. del bloque puede ser cualquier y£ 0.5.