Dinámica

Dinámica de la partícula

El rozamiento por
deslizamiento

Medida del coeficiente
dinámico

Medida del coeficiente
estático

Movimiento circular (I)

Movimiento circular (II)

Trabajo y energía

El péndulo cónico

Conservación de la 
energía (cúpula)

El péndulo simple

El muelle elástico (I)

El muelle elástico (II)

Trabajo y energía
(el bucle)

Sistema de referencia no inercial

Estabilidad de las soluciones

Actividades

Supongamos una partícula de masa m que está conectada mediante una varilla de longitud l, y de masa despreciable al eje vertical de un motor. La varilla se desvía del eje vertical un ángulo q cuando la velocidad angular del motor es mayor que un cierto valor mínimo w_c. La partícula describe entonces una circunferencia horizontal de radio l·senq . A este sistema se le denomina péndulo cónico.

Este ejemplo está tomado del artículo

Dupré, Janssen. An accurate determination of the acceleration of gravity g in the undergarduate laboratory. Am. J. Phys. 68 (8) August 2000, pp. 704-711.

Sistema de referencia inercial

Consideremos primero la situación más simple. Sustituyamos la varilla por un hilo inextensible y sin peso.

Como podemos apreciar en la figura, si la partícula de masa m describe una circunferencia de radio l·senq , las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• El peso mg
• La tensión del hilo T.

Sustituimos la tensión T por la acción simultánea de sus componentes rectangulares.

• La partícula está en equilibrio a lo largo de eje vertical.

T·cosq =mg

• La partícula describe un movimiento circular uniforme en el plano horizontal, su aceleración es a_n=w ²·l·senq y tiene la dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe. Aplicando la segunda ley de Newton,

T·senq =mw ²·l·senq

Despejando T en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda, tenemos dos posibles soluciones

senq =0
w ²·l·cosq =g

Despejando cosq en la segunda

Como cosq £ 1, esta la solución existe solamente para w ²³ g/l. Es decir, el péndulo abandona su posición vertical solamente si se cumple dicha desigualdad.

Sistema de referencia no inercial

Para hacer funcionar al péndulo cónico deberemos sustituir el hilo por una varilla rígida de la misma longitud l que supondremos de masa despreciable. El extremo superior de la varilla estará fijada a un gozne en eje de un motor que gira con velocidad angular w . En el sistema de referencia que gira con la varilla, tenemos un sólido rígido (la varilla) con un punto fijo y un sólo grado de libertad, el ángulo q .

Debido a la fuerza centrífuga sobre la partícula, la varilla se desviará de su posición vertical un ángulo q cuando la velocidad angular w del motor sea lo suficientemente grande. En el sistema de referencia en rotación con el eje del motor, la varilla se encontrará en equilibrio si el momento total del peso y de la fuerza centrífuga respecto del eje O es cero.

• El momento del peso es

mg·l·senq .

• El momento de la fuerza centrífuga es

mw ²·l·senq ·l·cosq

Ambos momentos tienen la misma dirección (perpendicular al plano formado por la fuerza y el punto O) pero sentidos opuestos. Igualando el momento total a cero

ml·senq (w ²·l·cosq ·g)=0

Tenemos de nuevo, dos soluciones

senq =0
w ²·l·cosq =g

Estabilidad de las soluciones

El peso es una fuerza conservativa. La energía potencial aumenta cuando la partícula se desvía un ángulo q Eg= mg(l-l·cosq )

La fuerza centrífuga depende solamente de la distancia x al eje de rotación, es una fuerza conservativa similar a la que ejerce de un muelle elástico.

La fuerza que ejerce un muelle elástico es de sentido contrario al desplazamiento F=-kx, su energía potencial es positiva E_p=kx²/2

La fuerza centrífuga tiene el mismo sentido que el desplazamiento F=mw ²·x

y su energía potencial será por tanto negativa E_c=- m w ²x²/2. La energía potencial inicial para x=0, se toma como E_p=0.

Cuando el péndulo se ha desviado un ángulo q , el desplazamiento horizontal es x= l·senq es y la energía potencial total de la partícula será la suma de ambas contribuciones E_p=E_g+E_c.

La condición de equilibrio se establece cuando E_p sea un extremo (máximo o mínimo)

Que proporciona dos soluciones

La estabilidad de la solución depende de la derivada segunda.

1. Para la primera solución q =0

• Siempre que w ²<g/l, la derivada segunda es positiva y el equilibrio es estable.
• Si w ²>g/l, la derivada segunda es negativa y el equilibrio es inestable.

2. Para q =p la segunda derivada es siempre negativa y el equilibrio es inestable.

3. Para q =arccos(g/l w ²)

• Si w ²>g/l, la solución es estable.

El péndulo cónico está por tanto, caracterizado por una velocidad angular crítica

por encima de la cual el péndulo se desvía de la vertical. Por debajo de esta velocidad angular crítica, el péndulo permanece en la posición vertical q =0.

Actividades

Vamos a estudiar el comportamiento de un péndulo cónico tiene una longitud l=1 m fijada en el programa interactivo.

Podemos cambiar la velocidad angular w de rotación del motor, introduciendo un valor en el control de edición titulado Velocidad angular.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

• Si la velocidad angular de rotación w es menor que el valor crítico rad/s el péndulo permanece en la posición vertical q =0.
• Si la velocidad angular de rotación w es mayor que el valor crítico el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo

A la derecha del applet se representa la energía potencia E_p en función del ángulo q en unidades mgl. Podemos observar que los mínimos y los máximos de la energía potencial, es decir, las posiciones de equilibrio estable e inestable..

Activando la casilla titulada Vectores se muestra las fuerzas (en color azul) sobre la partícula, suspendida de un hilo inextensible:

• El peso
• La tensión de la cuerda

Se dibuja mediante una flecha de color rojo, la aceleración normal, dirigida hacia el centro de la trayectoria circular.