Dinámica |
Sistemas de masa variable. El cohete Cohete "perfecto" Cohete de empuje constante
Cohete de dos etapas Movimiento vertical de un cohete. Descenso del módulo lunar |
Velocidad del cohete | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Hemos estudiado la dinámica
de un cohete suponiendo que expulsa una masa D=dm/dt de combustible en la
unidad de tiempo con una velocidad u constante relativa al cohete. Vamos ahora a suponer, que el cohete expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es un problema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que dispara repetidamente balas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador. Supondremos que el cohete está en el espacio exterior y por tanto, no actúa ninguna fuerza sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento lineal.
El cohete tiene una masa M que incluye la carga útil, el combustible y la masa del depósito cilíndrico que lo contiene. Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m a intervalos fijos de tiempo, es decir, en los instantes 0, Dt, 2·Dt...(n-1) ·Dt, alcanzando la velocidad en v1, v2, ....vn, tal como se muestra en la representación gráfica de la figura.
Velocidad del cohete
En el instante inicial t=0, expulsa una fracción m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. El cohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estaba inicialmente en reposo, su momento lineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete más el de los gases expulsados debe dar cero.
El cohete se moverá con velocidad constante v1 en el intervalo de tiempo 0-Dt. La fracción m de los gases expulsados se moverá con velocidad constante –u.
En el instante Dt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2. El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete más el de la fracción m del combustible expulsado.
El cohete se moverá con velocidad constante v2 en el intervalo de tiempo Dt -2Dt. La fracción m de los gases expulsados se moverá con velocidad constante v1-u.
En el instante 2Dt, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio de conservación del momento lineal, despejamos v3.
El cohete se moverá con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2Dt -3Dt. La fracción m de los gases expulsados se moverá con velocidad constante v2-u.
En el instante (n-1)Dt, el cohete expulsa la última fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad vn.
El cohete se moverá con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1)D t. La última fracción m del combustible expulsados se moverá con velocidad constante vn-1-u.
Momento linealEn el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)·Dt -i·Dt el momento lineal del cohete es Pc=(M-i·m)vi El momento lineal de los gases expulsados, como podemos comprobar en la primera figura es Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+…m(vi-1-u) La conservación del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y los gases que expulsa, exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.
EnergíaLa energía final del sistema, es la suma de la energía cinética del cohete Ec con velocidad final vn, y la energía cinética Eg de las fracciones de masa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u)… (vn-1-u), respectivamente.
Desplazamiento
El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- n·Dt) será
Del modelo discreto al continuoEl paso del modelo discreto al modelo continuo, implica incrementar el número n de fracciones de combustible de modo que la masa m de cada fracción sea cada vez más reducida. En el límite cuando n tienda a infinito, la masa de cada fracción será una cantidad infinitesimal dm. Como hemos visto, en el modelo continuo, al hallar la variación de momento lineal cuando se expulsa una fracción dm de combustible, hemos despreciado el término dm·dv, frente a los infinitésimos de primer orden. En el modelo discreto podemos comprobar el efecto de no despreciar estas cantidades que ahora son finitas.
ActividadesEl applet de la página anterior, "cohete de empuje constate" observamos el movimiento del cohete desde su propio sistema de referencia, ya que el objetivo estaba en mostrar como el cohete incrementaba su velocidad a medida que quemaba el combustible. El movimiento del fondo formado por estrellas fijas nos permitía percibir la magnitud de la velocidad del cohete. En este caso, el sistema de referencia es la Tierra, ya que el objetivo es el de observar el movimiento del cohete y de las fracciones de combustible que va expulsando. El applet que viene a continuación permite estudiar con detalle el comportamiento de un cohete de una sola etapa mediante un modelo discreto. Se introducen los siguientes datos, en los controles de edición correspondientes.
La masa inicial m0 es la suma de la carga útil, más el combustible y más la masa del recipiente cilíndrico que será proporcional a la masa del combustible que contiene masa inicial m0 =carga útil+(1+r) * combustible.donde r es del orden del 5% ó 0.05. Tomaremos el intervalo de tiempoD t =1 s. De modo que, la primera fracción de combustible se expulsa en el instante t=0, la segunda en el instante t=1 s., la tercera en el instante t=2 s, y así sucesivamente. El combustible se agota en el instante t=(n-1) s. En la parte inferior del applet, vemos el movimiento del cohete, en color azul, y el movimiento de las fracciones de combustible expulsados (en color rojo). En la parte superior izquierda, se representa, mediante un diagrama de barras, el tanto por ciento de combustible (en color azul) gastado. La segunda representa, el momento lineal del cohete (azul) y el momento lineal de los gases expulsados (en rojo), ambos momentos son iguales y de sentido contrario, de modo que el momento lineal total es cero. La tercera barra, representa la energía: la longitud total de la barra es la energía total disponible, la parte azul corresponde a la energía cinética del cohete, y la parte roja, la energía cinética de las fracciones de combustible expulsadas. Finalmente, tenemos la representación de la velocidad del cohete en función del tiempo. En color rojo la curva continua describe el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo continuo descrito en la página anterior. En color azul, tenemos una curva escalonada que representa el perfil de la velocidad del cohete calculada siguiendo el modelo discreto descrito en esta página. Probar con diversos valores del número de fracciones, por ejemplo n=3 y compararla con n=9. Veremos cómo a medida que se incrementa n las predicciones del modelo discreto se acercan a las del modelo continuo. Ejemplo 1:
La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito) M=800+1.05·9000=10250 kg. La masa de cada fracción de combustible es m=9000/3=3000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, y t=2 s. La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo.
Modelo discretoLas velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son
Modelo continuo.En la formulación continua, se queman 3000 kg de combustible cada segundo, D=3000 kg/s, resultando
Como vemos hay una gran diferencia entre las predicciones de ambos modelos
Ejemplo 2:
La masa inicial del cohete es (carga útil+combustible+masa del depósito) M=800+1.05·9000=10250 kg. La masa de cada fracción de combustible es m=9000/9=1000 kg, y se expulsan en los instantes t=0, t=1, ... t=8 s. La velocidad de expulsión de cada una de las fracciones es de u=2000 m/s respecto del cohete, y está fijada en el programa interactivo. Modelo discretoLas velocidades del cohete en los intervalos de tiempo que se indican son
Modelo continuoEn la formulación continua, se queman 1000 kg de combustible cada segundo, D=1000 kg/s, resultando
Los resultados del modelo discreto se van acercando a los del modelo continuo. Fijarse que en el modelo continuo, la velocidad final del cohete es independiente de D, la cantidad de combustible quemado en la unidad de tiempo. |
Modelo discreto de
cohete.
