Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (II)

Desviación hacia el este en un lugar de latitud l , en el hemisferio Norte.

La aceleración de la gravedad

Vamos a obtener la fórmula de la desviación hacia el este de un cuerpo que cae desde una altura h desde el punto de vista del observador inercial.

En la página anterior "Desviación hacia el este de un cuerpo que cae (I)", hemos supuesto que la fuerza de atracción entre el cuerpo y la Tierra es central y conservativa, por lo que el cuerpo al caer describe una elipse. Hemos determinado la ecuación de dicha trayectoria y su intersección con la superficie terrestre. El cálculo como hemos visto es bastante laborioso.

Supongamos de nuevo que el cuerpo está situado a una altura h sobre la superficie de un planeta de radio R en su plano ecuatorial,  que gira con velocidad angular constante w.

El cuerpo está inicialmente en reposo a una altura h para el observador terrestre (no inercial), pero está situado a una distancia R+h del centro de la Tierra y lleva una velocidad (h+R)·w respecto al sistema de referencia fijo (inercial), describiendo una órbita elíptica que interseca la superficie del planeta en un punto P. A la vez que el cuerpo se mueve, el observador no inercial situado inicialmente debajo del cuerpo va describiendo un arco de circunferencia. El resultado es una desviación hacia el este de dicho cuerpo en relación al observador no inercial.

El cálculo de esta desviación puede hacerse mucho más simple si suponemos que la altura h es muy pequeña comparada con el R radio del planeta. Basta para ello, aplicar la constancia del momento angular y suponer que la altura h es mucho menor que el radio del planeta R. La explicación de esta desviación es mucho más clara que la que se hace de ordinario usando la fórmula de la aceleración de Coriolis en el sistema de referencia en rotación.

Desviación hacia el este en el Ecuador

Como vemos en la figura el momento angular inicial de la partícula de masa m es L=m(R+h)2w El momento angular en el instante t es L=mrvq . Siendo vq la componente r(dq /dt) de la velocidad en coordenadas polares perpendicular a la dirección radial.

A partir de la constancia del momento angular tenemos la siguiente relación

Siendo z la altura sobre la superficie del planeta r=R+z en el instante t.

Teniendo en cuenta que h y z son mucho menores que R, tenemos la siguiente relación aproximada más simple

Para poder integrar esta ecuación tenemos que buscar la dependencia de z con el tiempo t.

Como z=h-gt²/2, donde g es la aceleración de la gravedad (supuesta constante) radialmente dirigida hacia el centro de la Tierra.

Como vemos en la figura, el ángulo que forman el observador O y el objeto en la posición P sobre la superficie de la Tierra es la diferencia q -w t. Y el arco o distancia entre el punto O y el punto P es (arco=radio· ángulo)

Desviación hacia el este en un lugar de latitud l , en el hemisferio Norte.

Podemos generalizar este resultado para un objeto situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra en un lugar de latitud l . Como vemos en la figura, dicho objeto, lleva una velocidad w ·(R+h)cos l , y tiene por tanto, un momento angular L= w (R+h)2cos l Los cálculos son similares a los ya efectuados basta sustituir w por w ·cos l

Para llegar a la fórmula de la desviación hacia el este

La aceleración de la gravedad

Un tratamiento más exacto nos da un valor de g algo inferior al valor g₀ de la aceleración de la gravedad.

Para obtener z en función del tiempo tenemos que expresar la aceleración en coordenadas polares y considerar que la aceleración en la dirección radial a_r en el sistema de referencia inercial es -g₀, dirigida hacia el centro de la Tierra.

El término que disminuye g₀ es la aceleración centrífuga que es pequeña comparada con g₀. Como r=R+z. tenemos

Integrando la ecuación diferencial de segundo orden para un móvil que parte de la altura z=h con velocidad inicial nula en la dirección radial tenemos que.

z=h-gt²/2